Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования

Методы поиска экстремума функции одной переменной.

Основные понятия.

Несмотря на то, что задача поиска экстремума функции одной переменной наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает центральное место в теории оптимизации, как с теоретической, так и с практической точек зрения. Это связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итеративных процедур многопараметрической оптимизации.

Постановка задачи.

Определение 1. Функция f(x) имеет локальный минимум на элементе , если существует некоторая конечная - окрестность этого элемента, в которой выполняется
Функция может иметь много локальных минимумов.

Определение 2. Функция f(x) достигает глобальный минимум на множестве Х в точке x*, если .

Естественно требовать, чтобы функция f(x) была непрерывной или, по крайней мере, кусочно-непрерывной. В отношении множества Х – это числовая ось.

Если эти требования не соблюдены, то вряд ли можно построить разумный алгоритм нахождения решения. Например, если f(x) не является кусочно-непрерывной функцией, то единственным способом нахождения оптимума является полный перебор всех элементов , на которых задана функция, что вряд ли можно считать приемлемым. Чем более жестким требованиям удовлетворяет f(x) (например, существование производных различного порядка), тем легче построить хорошие численные методы.

Необходимое условие локальной оптимальности.

Необходимое условие локальной оптимальности дается следующей теоремой Ферма.

Теорема Ферма. Пусть f(x) дифференцируема на некотором промежутке и во внутренней точке x* этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение, тогда

Стр.: ... 2, 3, 4