Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования

Условия экстремума задачи безусловной минимизации.

Теорема1.

(Необходимое условие локальной оптимальности). Пусть- точка локального экстремума f(x), и f(x) дифференцируема в, тогда выполняется условие стационарности.
Не всякая из точек, удовлетворяющих условию стационарности, является точкой экстремума. Она может быть седловой точкой.
В случае функции многих переменных, характер стационарной точкисвязан со знакоопределенностью матрицы Гессе

Теорема2.

(Достаточное условие локальной оптимальности). Пусть в точкефункция f(x) дважды дифференцируема и выполнено условие стационарности. Тогда, если матрица Гессе является положительно (отрицательно) определенной, тоточка локального минимума (максимума); если матрицаявляется неопределенной, тоседловая точка.

Пример.

Решение.

Градиент функции есть:

Запишем необходимые условия экстремума:

Получена стационарная точка
Для определения характера стационарной точки составим матрицу Гессе:

Так как все диагональные миноры матрицы Гессе положительны, то она яв-ляется положительно-определенной матрицей и в соответствии с критерием Сильвестра точкаесть точка минимума.