Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования

1.Оценка параметров и структуры математической модели.

Задачи поиска оптимума возникают при построении математических моделей. Когда для изучения какого-либо явления конструируется математическая модель, к оптимизации прибегают для того, чтобы определить ее структуру и параметры, которые обеспечивают наилучшее согласие с реальностью.
Пусть результат измерения случайной величины у зависит от , причем где у - результат измерения, - функция, вид которой известен, - неизвестные параметры функции. Оценка неизвестных параметров при определенных условиях может быть произведена, например, по методу наименьших квадратов посредством минимизации суммы квадратов

по . Здесь N- количество наблюдений.
Для определения структуры модели, т.е. определение ее вида, создается множество альтернативных моделей, среди которых выбирается одна из моделей по некоторому критерию. В качестве критерия может выступать либо сумма квадратов , либо оценка дисперсии модели, либо коэффициент детерминации и т.п.

2. Задача Штейнера.

Классическая задача Штейнера формулируется так: требуется найти точку , сумма расстояний от которой до заданных точек минимальна. Эта задача типично оптимизационная:

Приведенные задачи представляют собой задачи безусловной оптимизации — на искомое решение не налагается никаких дополнительных условий, кроме того, что оно должно доставлять минимум некоторой функции (другими словами, минимум функции ищется на всем пространстве — области определения функции).

3. Задача о рационе.

Формулировка задачи о рационе: Пусть имеется n различных пищевых продуктов, содержащих m различных питательных веществ. Обозначим через долю j-го питательного вещества в i-ом продукте, через — суточную потребность организма в j-ом питательном веществе, через — стоимость единицы i-го продукта. Требуется составить суточный рацион питания минимальной стоимости, удовлетворяющий потребность во всех питательных веществах. Если обозначить через суточное потребление i-го продукта, то эта задача может быть формализована следующим образом. Нужно минимизировать функцию
(стоимость рациона)
при условиях
(рацион должен содержать не менее суточной потребности в каждом из питательных веществ).
Очевидно, также следует требовать, чтобы
В векторных обозначениях задача о рационе может быть записана так: минимизировать функцию
f(x)=(c,x), где ; эту задачу, как обычно, мы записываем в виде при ограничениях
,
.
В них первое неравенство связывает два вектора Ax и b из , а второе – два вектора x и из .

Стр.: 1, ..., 3